Sujet type bac pratique n°12 : le triangle de Pascal et les combinaisons

Sujet : le triangle de Pascal (20 pts)

Le triangle de Pascal est rangé dans une matrice M : la ligne i (i à partir de 0) contient i + 1 nombres, avec M[i][0] = M[i][i] = 1 et, entre les deux, M[i][j] = M[i - 1][j - 1] + M[i - 1][j]. Le nombre M[p][k] est aussi le nombre de combinaisons C(p, k).

On veut lire n (1 ≤ n ≤ 12, saisie contrôlée), remplir et afficher les n premières lignes du triangle, puis lire p (0 ≤ p ≤ n - 1) et k (0 ≤ k ≤ p), avec des saisies contrôlées, et vérifier que M[p][k] est égal à C(p, k) calculé par une fonction récursive.

• 1) Créer un programme Python et l'enregistrer sous le nom Pascal.py (1 pt).
• 2) Écrire la procédure RemplirPascal(M, n) qui remplit les n premières lignes du triangle (5 pts).
• 3) Écrire la procédure Afficher(M, n) qui affiche les n lignes, la ligne i contenant ses i + 1 nombres séparés par un espace (3 pts).
• 4) Écrire la fonction récursive Comb(p, k) qui renvoie C(p, k), avec C(p, 0) = C(p, p) = 1 et C(p, k) = C(p - 1, k - 1) + C(p - 1, k) sinon (5 pts).
• 5) Écrire le programme principal en Python qui lit n, remplit et affiche le triangle, lit p et k, puis affiche la ligne de l'exemple (6 pts).

Exemple : pour n = 6, p = 5 et k = 2, le programme affiche :

1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
C(5, 2) = 10 dans le triangle et 10 par Comb

Correction détaillée

Sujet original écrit pour Mission Carthage, dans le format de l'épreuve pratique d'informatique du bac Sciences de l'informatique. Ce n'est pas un sujet officiel.

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