Sujet type bac pratique n°12 : le triangle de Pascal et les combinaisons

Sujet : le triangle de Pascal (20 pts)

Le triangle de Pascal est rangé dans une matrice M : la ligne i (i à partir de 0) contient i + 1 nombres, avec M[i][0] = M[i][i] = 1 et, entre les deux, M[i][j] = M[i - 1][j - 1] + M[i - 1][j]. Le nombre M[p][k] est aussi le nombre de combinaisons C(p, k).

On veut lire n (1 ≤ n ≤ 12, saisie contrôlée), remplir et afficher les n premières lignes du triangle, puis lire p (0 ≤ p ≤ n - 1) et k (0 ≤ k ≤ p), avec des saisies contrôlées, et vérifier que M[p][k] est égal à C(p, k) calculé par une fonction récursive.

• 1) Créer un programme Python et l'enregistrer sous le nom Pascal.py (1 pt).
• 2) Écrire la procédure RemplirPascal(M, n) qui remplit les n premières lignes du triangle (5 pts).
• 3) Écrire la procédure Afficher(M, n) qui affiche les n lignes, la ligne i contenant ses i + 1 nombres séparés par un espace (3 pts).
• 4) Écrire la fonction récursive Comb(p, k) qui renvoie C(p, k), avec C(p, 0) = C(p, p) = 1 et C(p, k) = C(p - 1, k - 1) + C(p - 1, k) sinon (5 pts).
• 5) Écrire le programme principal en Python qui lit n, remplit et affiche le triangle, lit p et k, puis affiche la ligne de l'exemple (6 pts).

Exemple : pour n = 6, p = 5 et k = 2, le programme affiche :

1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
C(5, 2) = 10 dans le triangle et 10 par Comb