Devoir pratique n°2 : nombres premiers jumeaux et premiers de la diagonale d'une matrice symétrique

Exercice 1 : les nombres premiers jumeaux (8 pts)

Deux nombres premiers p et p + 2 sont appelés jumeaux : (3, 5), (5, 7) et (11, 13) en sont des exemples. On veut afficher tous les couples de nombres premiers jumeaux dont le plus grand ne dépasse pas un entier n (5 ≤ n ≤ 1000).

• 1) Créer un programme Python et l'enregistrer sous le nom Jumeaux.py (1 pt).
• 2) Écrire la fonction EstPremier(n) qui renvoie Vrai si l'entier n ≥ 2 est premier, Faux sinon (3 pts).
• 3) Écrire le programme principal en Python qui lit n (saisie contrôlée) puis affiche les couples sur une ligne, séparés par un espace, sous la forme de l'exemple (4 pts).

Exemple : pour n = 20, le programme affiche :

(3, 5) (5, 7) (11, 13) (17, 19)

Exercice 2 : les premiers de la diagonale d'une matrice symétrique (12 pts)

Une matrice carrée M d'ordre n est symétrique si M[i][j] = M[j][i] pour tous i et j. On travaille avec 2 ≤ n ≤ 10 et des entiers M[i][j] ≥ 2. On veut compter les nombres premiers de la diagonale principale de M (les éléments M[i][i]), avec la fonction EstPremier de l'exercice 1, puis dire si M est symétrique.

On recopie dans ce programme la fonction EstPremier de l'exercice 1.

• 1) Créer un programme Python et l'enregistrer sous le nom Diagonale.py (1 pt).
• 2) Écrire la procédure RemplirMat(M, n) qui lit les n × n entiers de M, ligne par ligne, chacun supérieur ou égal à 2 (saisie contrôlée) (2 pts).
• 3) Écrire la fonction PremiersDiagonale(M, n) qui renvoie le nombre d'éléments M[i][i] premiers, en appelant EstPremier (3 pts).
• 4) Écrire la fonction EstSymetrique(M, n) qui renvoie Vrai si M est symétrique, Faux sinon (3 pts).
• 5) Écrire le programme principal en Python qui lit n (saisie contrôlée) et M, puis affiche le nombre de premiers de la diagonale et « Symétrique : Oui » ou « Symétrique : Non » (3 pts).

Exemple : pour n = 3 et la matrice 2 4 6 / 4 9 8 / 6 8 7, la diagonale est 2, 9, 7 (2 et 7 sont premiers) et le programme affiche :

Premiers sur la diagonale : 2
Symétrique : Oui

Correction détaillée

Sujet original écrit pour Mission Carthage, dans le format d'un devoir pratique d'informatique (3ème Sciences de l'informatique). Ce n'est pas un sujet officiel.

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