Devoir pratique n°11 : racine carrée par la méthode de Héron

Exercice 1 : la racine carrée (8 pts)

Pour un réel a > 0, la méthode de Héron calcule une valeur approchée de la racine carrée de a : on part de x = a, puis on remplace x par (x + a / x) / 2, et on recommence jusqu'à ce que deux valeurs successives diffèrent de moins de eps (0 < eps < 1). Le réel a et la précision eps sont saisis avec des saisies contrôlées.

• 1) Créer un programme Python et l'enregistrer sous le nom Racine.py (1 pt).
• 2) Écrire la fonction Racine(a, eps) qui renvoie la valeur approchée de la racine carrée de a obtenue par la méthode de Héron (4 pts).
• 3) Écrire le programme principal en Python qui lit a puis eps et affiche la racine approchée, arrondie à 4 chiffres après la virgule, sous la forme de l'exemple (3 pts).

Exemple : pour a = 2 et eps = 0.0001, le programme affiche :

Racine de 2.0 ≈ 1.4142

Exercice 2 : le nombre d'itérations (12 pts)

On reprend la méthode de Héron de l'exercice 1. On veut maintenant savoir combien d'itérations (de calculs de (x + a / x) / 2) sont nécessaires pour atteindre la précision eps, et mesurer l'erreur obtenue : la valeur absolue de x × x - a, où x est la racine approchée.

• 1) Créer un programme Python et l'enregistrer sous le nom Iterations.py (1 pt).
• 2) Écrire la fonction NbIterations(a, eps) qui renvoie le nombre d'itérations faites par la méthode de Héron pour la précision eps (5 pts).
• 3) Écrire le programme principal en Python qui lit a et eps (saisies contrôlées), puis affiche la racine approchée arrondie à 4 chiffres, le nombre d'itérations et l'erreur arrondie à 8 chiffres après la virgule, sous la forme de l'exemple ; la fonction Racine de l'exercice 1 est recopiée dans ce programme (6 pts).

Exemple : pour a = 2 et eps = 0.1, le programme affiche :

Racine de 2.0 ≈ 1.4167
Itérations : 2
Erreur : 0.00694444

Correction détaillée

Sujet original écrit pour Mission Carthage, dans le format d'un devoir pratique d'informatique (3ème Sciences de l'informatique). Ce n'est pas un sujet officiel.

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