Sujet type bac pratique n°7 : zéro d'une fonction par dichotomie et matrice des intervalles (Qt Designer et PyQt5)

Sujet : zéro d'une fonction par dichotomie (20 pts)

La fonction f(x) = x³ + x - 1 s'annule une seule fois sur l'intervalle [0, 1] : f(0) = -1 < 0 et f(1) = 1 > 0. Pour approcher ce zéro par dichotomie, on part de a = 0 et b = 1 ; à chaque étape on calcule le milieu m = (a + b) / 2 : si f(a) et f(m) sont de même signe, le zéro est dans [m, b] et on remplace a par m, sinon on remplace b par m. On s'arrête quand b - a < eps, et la valeur approchée est (a + b) / 2.

Les intervalles successifs sont rangés dans une matrice E de 20 lignes et 2 colonnes de réels : la ligne k contient les bornes a et b après k étapes (E[k][0] = a, E[k][1] = b), et la ligne 0 contient l'intervalle de départ [0, 1]. Si la dichotomie s'arrête après k étapes, le dernier intervalle est la ligne k et la valeur approchée est son milieu.

On veut une application où l'utilisateur choisit la précision eps dans une liste, puis obtient la valeur approchée du zéro (arrondie à 4 chiffres après la virgule) et le nombre d'étapes.

L'interface contient :

• une étiquette avec le texte « Précision : »,
• une liste déroulante nommée cmbEps (QComboBox) qui contient, dans cet ordre, 0.1, 0.01, 0.001 et 0.0001,
• un bouton nommé btnCalculer (QPushButton) avec le texte « Calculer »,
• deux étiquettes nommées lblX et lblEtapes (QLabel) pour les résultats.

Travail demandé

• 1) Concevoir l'interface graphique décrite ci-dessus et l'enregistrer sous le nom interface.ui (3 pts).
• 2) Créer un programme Python et l'enregistrer sous le nom Zero.py (1 pt).
• 3) Dans ce programme, développer une fonction F(x) qui renvoie x³ + x - 1 (2 pts).
• 4) Développer une fonction Dicho(eps, E) qui applique la dichotomie à F sur [0, 1], range chaque intervalle dans la matrice E et renvoie le nombre d'étapes, c'est-à-dire le nombre de fois où l'intervalle est coupé en deux avant que sa longueur soit inférieure à eps (5 pts).
• 5) Développer une fonction Milieu(E, k) qui renvoie le milieu de l'intervalle rangé dans la ligne k de E (2 pts).
• 6) Développer un module Play, appelé par un clic sur le bouton btnCalculer, qui affiche « x ≈ … » (arrondi à 4 chiffres après la virgule) dans lblX et « Étapes : … » dans lblEtapes, pour la précision choisie (4 pts).
• 7) Ajouter les instructions qui chargent l'interface, relient le bouton au module Play et affichent la fenêtre (3 pts).

Exemple : pour la précision 0.0001, lblX affiche « x ≈ 0.6823 » et lblEtapes « Étapes : 14 ».

Correction détaillée

Sujet original écrit pour Mission Carthage, dans le format de l'épreuve pratique d'informatique du bac Sciences de l'informatique. Ce n'est pas un sujet officiel.

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