Sujet type bac pratique n°11 : calcul approché d'une intégrale et matrice des bandes (Qt Designer et PyQt5)

Sujet : π par la méthode du point milieu (20 pts)

L'aire sous la courbe de f(x) = 4 / (1 + x²) entre 0 et 1 vaut exactement π. La méthode du point milieu l'approche ainsi : on coupe [0, 1] en n bandes de largeur h = 1 / n ; sur chaque bande, on prend le rectangle dont la hauteur est la valeur de f au milieu de la bande, et on additionne les aires des n rectangles.

Les bandes sont décrites dans une matrice B de 1000 lignes et 2 colonnes de réels : pour la bande numéro i (i de 0 à n - 1), B[i][0] est l'abscisse de son milieu et B[i][1] la hauteur du rectangle, c'est-à-dire f(B[i][0]).

On veut une application où l'utilisateur choisit n (de 1 à 1000) et obtient la valeur approchée de π, arrondie à 4 chiffres après la virgule.

L'interface contient :

• une étiquette avec le texte « Nombre de bandes : »,
• une zone de saisie nommée txtN (QLineEdit) pour un entier de 1 à 1000 (on suppose la saisie correcte),
• un bouton nommé btnCalculer (QPushButton) avec le texte « Calculer »,
• une étiquette nommée lblRes (QLabel) pour le résultat.

Travail demandé

• 1) Concevoir l'interface graphique décrite ci-dessus et l'enregistrer sous le nom interface.ui (4 pts).
• 2) Créer un programme Python et l'enregistrer sous le nom Integrale.py (1 pt).
• 3) Dans ce programme, développer une fonction F(x) qui renvoie 4 / (1 + x²) (2 pts).
• 4) Développer une procédure Bandes(B, n) qui remplit les n premières lignes de B : le milieu de chaque bande et la hauteur de son rectangle (3 pts).
• 5) Développer une fonction PointMilieu(B, n) qui renvoie l'aire approchée sous la courbe de F entre 0 et 1, la somme des aires des n rectangles décrits dans B (3 pts).
• 6) Développer un module Play, appelé par un clic sur le bouton btnCalculer, qui remplit B pour le n choisi et affiche « π ≈ … » dans lblRes, la valeur étant arrondie à 4 chiffres après la virgule (4 pts).
• 7) Ajouter les instructions qui chargent l'interface, relient le bouton au module Play et affichent la fenêtre (3 pts).

Exemples : pour n = 10, l'étiquette affiche « π ≈ 3.1424 » ; pour n = 100, « π ≈ 3.1416 ».

Correction détaillée

Sujet original écrit pour Mission Carthage, dans le format de l'épreuve pratique d'informatique du bac Sciences de l'informatique. Ce n'est pas un sujet officiel.

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