Sujet type bac pratique n°6 : le nombre d'or par la suite de Fibonacci et une matrice

Sujet : le nombre d'or (20 pts)

La suite de Fibonacci est définie par U(1) = 1, U(2) = 1 et U(n) = U(n - 1) + U(n - 2) pour n ≥ 3 : 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, … Les quotients Q(n) = U(n + 1) / U(n) se rapprochent du nombre d'or φ ≈ 1.618.

On calcule U(n) avec la matrice F = [[1, 1], [1, 0]] de 2 lignes et 2 colonnes : la matrice F^n, produit de n matrices F, vaut [[U(n + 1), U(n)], [U(n), U(n - 1)]] (avec U(0) = 0). U(n) est donc la case de la ligne 0 et de la colonne 1 de F^n.

Pour une précision eps donnée (0 < eps < 1, saisie contrôlée), on cherche le premier rang n ≥ 2 tel que la différence entre Q(n) et Q(n - 1), en valeur absolue, soit strictement inférieure à eps. Q(n) est alors la valeur approchée de φ.

• 1) Créer un programme Python et l'enregistrer sous le nom NombreOr.py (1 pt).
• 2) Écrire la procédure Produit(A, B, C) qui range dans C le produit des matrices A et B de 2 lignes et 2 colonnes : C[i][j] = A[i][0] × B[0][j] + A[i][1] × B[1][j] (4 pts).
• 3) Écrire la fonction Fibo(n) qui renvoie U(n) : elle part de la matrice identité P = [[1, 0], [0, 1]] et la multiplie n fois par F avec la procédure Produit (4 pts).
• 4) Écrire la fonction Rang(eps) qui renvoie le premier rang n ≥ 2 tel que |Q(n) - Q(n - 1)| < eps (5 pts).
• 5) Écrire le programme principal en Python qui lit eps (saisie contrôlée), puis affiche la valeur approchée de φ arrondie à 6 chiffres après la virgule et le rang, sous la forme de l'exemple (6 pts).

Exemple : pour eps = 0.001, le programme affiche :

φ ≈ 1.618182
Rang : 10