Sujet type bac pratique n°2 : les nombres de Smith et la matrice des facteurs (Qt Designer et PyQt5)

Sujet : les nombres de Smith (20 pts)

Un entier N qui n'est pas premier est un nombre de Smith si la somme de ses chiffres est égale à la somme des chiffres de tous ses facteurs premiers, chaque facteur étant compté autant de fois qu'il apparaît dans la décomposition.

Exemple : 22 = 2 × 11. La somme des chiffres de 22 est 2 + 2 = 4, celle des facteurs est 2 + (1 + 1) = 4 : 22 est un nombre de Smith. 27 = 3 × 3 × 3 : 2 + 7 = 9 = 3 + 3 + 3, 27 est un nombre de Smith. 25 = 5 × 5 : 2 + 5 = 7 et 5 + 5 = 10, 25 n'en est pas un. Un nombre premier comme 23 n'est jamais un nombre de Smith.

La décomposition de n est rangée dans une matrice F de 2 lignes et 6 colonnes : F[0][k] est le k-ième facteur premier distinct de n (dans l'ordre croissant) et F[1][k] son exposant. Par exemple, 666 = 2 × 3 × 3 × 37 donne les colonnes (2, 1), (3, 2) et (37, 1). Un entier inférieur à 100000 a au plus 6 facteurs premiers distincts.

On veut une application qui permet de saisir un entier N (4 ≤ N ≤ 99999) et d'afficher s'il est un nombre de Smith.

L'interface contient :

• une étiquette avec le texte « Saisir un entier N : »,
• une zone de saisie nommée txtN (QLineEdit),
• un bouton nommé btnVerifier (QPushButton) avec le texte « Vérifier »,
• une étiquette nommée lblMsg (QLabel) pour afficher le message.

Travail demandé

• 1) Concevoir l'interface graphique décrite ci-dessus et l'enregistrer sous le nom interface.ui (3 pts).
• 2) Créer un programme Python et l'enregistrer sous le nom Smith.py (1 pt).
• 3) Dans ce programme, développer une fonction récursive SommeChiffres(n) qui renvoie la somme des chiffres de l'entier n (2 pts).
• 4) Développer une fonction Decomposer(n, F) qui range la décomposition de n (n ≥ 2) dans la matrice F et renvoie le nombre de facteurs premiers distincts (3 pts).
• 5) Développer une fonction SommeFacteurs(F, nb) qui renvoie la somme des chiffres des nb facteurs premiers rangés dans F, chaque facteur compté autant de fois que son exposant (2 pts).
• 6) Développer une fonction Smith(n) qui décompose n dans une matrice F, puis renvoie Vrai si n n'est pas premier et si SommeChiffres(n) = SommeFacteurs(F, nb), Faux sinon (2 pts).
• 7) Développer un module Play, appelé par un clic sur le bouton btnVerifier, qui : affiche « Veuillez saisir un entier entre 4 et 99999 » si le texte saisi n'est pas un entier compris entre 4 et 99999 ; sinon affiche « N est un nombre de Smith » ou « N n'est pas un nombre de Smith », où N est remplacé par la valeur saisie (4 pts).
• 8) Ajouter les instructions qui chargent l'interface, relient le bouton au module Play et affichent la fenêtre (3 pts).

Exemples : pour 22, l'étiquette affiche « 22 est un nombre de Smith » ; pour 25, « 25 n'est pas un nombre de Smith » ; pour 3 ou pour abc, « Veuillez saisir un entier entre 4 et 99999 ».